Sisältö
Vuonna 1872 saksalainen matemaatikko Klein ehdotti artikkelia "Modernin geometrian vertailevasta tutkimuksesta" Erranian yliopistossa. Hän ehdotti, että ns. geometria on tutkia tietyn tyyppisen muutoksen luonteen pysymistä muuttumattomana. Tämän näkemyksen mukaan ns. grafiikan "geometrinen luonne" on muunnosryhmän muutoksen luonne. Toisin sanoen kuinka monella eri muunnosryhmällä on monta eri geometriaa. Tätä Kleinin näkemystä kutsutaan myöhemmin "Erlanggeniksi".
Esittely SAFR-ryhmä
Geometrinen muunnos
antaa minkä tahansa geometrisen kohteen joukon M, ja sovittua kutsutaan avaruudeksi. Prosessia, joka muuttaa jokaisen geometrisen kohteen (tai elementin) toiseksi geometriseksi objektiksi, kutsutaan geometriseksi muunnokseksi M:llä, jota kutsutaan muunnokseksi. Geometrinen kohde on merkitty alfalla tai monien objektien konfiguroimalla kuviolla, ja α muuttaa α:n toiseksi objektiksi tai grafiikaksi B T:n alla, muista T (α) = B, B Kuvaa α, α kutsutaan kuvan lähteeksi. B.
Ota toinen muunnos S:n rooli B:ksi, aseta S (b) = c, jos kaksi muunnoksen jatkuvaa vaikutusta, α muuttuvat с:ksi, joten muutos с:ksi on myös muunnos, muista p, eli p (α) = с. P S:n ja T:n tuloa kutsutaan nimellä P = ST. Muunnostulon järjestys on yleensä horjumaton, eli ST ≠ TS.
Jos muunnoksia on kolme T, S, R, aiempi toiminta T, jota seuraa S ja lopuksi R, ja tulos on RST, symbolin järjestys edustaa oikeaa puolta vasemmalle. Muodostetaan muunnostulon yhdistelmä: (RS) T = R (ST) = RST.
Jos T muutetaan, jokainen elementti B on yksilöllisen elementin α kuva, ja sitten t on yksi yhteen muunnos. Tällä hetkellä T:llä on määrätty käänteismuunnos, muista T -1, t-1 tulo ylläpitää jokaista elementtiä, joka on vakiomuunnos, muistaen E, TT-1 = T-1T = E.
Muunnosryhmä on kokoelma M:n rajoitettuja tai rajoittamattomia muunnoksia, ja se täyttää seuraavat kaksi ehtoa: 1 Minkä tahansa kokoelman G muunnoksen tulo kuuluu G:lle; 2 Jokaisella vakuudella g Muunnolla on oltava käänteismuunnos, ja tämä käänteismuunnos kuuluu myös G:lle, jota kutsutaan muunnosryhmäksi M:llä.
Jos osa muutoksesta otetaan tunnetusta muunnosryhmästä G, muunnosryhmän G1 ja G1 muunnosaliryhmän muodostava koko on G1.
määritellään määritelmällä: urheilusarjojen, affiinisten muunnossarjojen, heijastusjoukkojen jne. integrointi tasossa tai avaruudessa muodostaa vastaavasti muunnosryhmän, jota kutsutaan kunnioitusryhmäksi, affiiniseksi ryhmäksi, ammusryhmäksi ja vastaavasti. . Odota; liikeryhmä on affiiniryhmän alaryhmä, urheiluryhmä ja affiiniryhmä ovat ampumaryhmän alaryhmä.
jos G:ssä on muunnos tila M ja muunnosryhmä G, graafisesta α tulee grafiikka B, ja α ja B ovat ekvivalentteja. Määritelmä muunnosryhmästä voidaan käynnistää:
1 Jos grafiikka α vastaa grafiikkaa B, grafiikka B vastaa myös grafiikkaa α. Itse asiassa, jos grafiikka α vastaa B:tä, ryhmän G täytyy muuttaa T:tä siten, että T (α) = B; eli T-1 (b) = α, mutta T-1 kuuluu G:lle, mikä osoittaa, että G Muutetaan B:stä α, joten B on yhtä suuri kuin α.
2 Jos kaksi grafiikkaa α ja b vastaavat kolmatta grafiikkaa с, α ja b ovat ekvivalentteja toisilleen. Itse asiassa, jos α vastaa с-ekvivalenssia, ryhmän g on muutettava T, jotta T (α) = с; jos B on ekvivalentti с:n kanssa, G:n on muutettava S:tä siten, että S (b) = с Näin ollen S-1 (с) = B, joten S-1T (α) = B, joten kuvio α ja B on vastaava.
Yksimuuttuja
Cleinin ekvivalenttia avaruuden M grafiikan luonnetta kutsutaan geometriseksi luonteeksi tai vakioluonneeksi, ja geometriset ominaisuudet ovat mikä tahansa muunnos tunnetussa ryhmässä G. Muuttumaton määrä yhdistetään, mikä on ilmeisesti kaikki ekvivalenttia grafiikkaa. Kaikkia ryhmän G invariantteja ominaisuuksia kutsutaan G:n luonteeksi, ja g:hen kuuluvan luonnon geometria tunnetaan G:n geometriana.
Kleinin idea
Clein's theory of various geometries as the constant nature of various groups they have learned, making it in the 1980s The various geometries found have shown a more profound connection, and he proposed this group of view in the famous "Erranian Gang". Here, it takes out the idea of geometric classification in accordance with the change group - the idea of the Erlanggen. For example, the nature of the motion is the metrics, and the geometric geometric geometric geometry is called metrics (Ou's geometry); the nature of the affine transformation is the nature of the affine, and the geometric of the affine is called the affine geometry; The nature of the shooting transform is the material of the shooting, and the geometric geometry of the material is called the shooting geometry; Under the sport, the distance, angle, area, parallelism, single ratio, and cross-comparison; under affine transformation, distance, angle, area varies, but (in the same direction line segment) single, parallel Sexuality, a total linear, comparison, remain unchanged; for the shooting group, single ratio, parallelism changes, but co-linear, and the volume is maintained unchanged. This is because the motion group is a subgroup of the affine group, and the affine group is a subgroup of the shooting group.
Pieni risteys
Edellä olevan mukaan tietyn muutosryhmän muuttumattomien ominaisuuksien tulee olla sen alaryhmän luonnetta, mutta sitä ei ole tarpeen määrittää, eli ryhmä Mitä suurempi ero, sitä pienempi geometria; mitä pienempi ryhmä, sitä enemmän geometristä sisältöä. Esimerkiksi eurooppalaisessa geometriassa affiinista luonnetta (yksittäinen suhde, yhdensuuntaisuus jne.) voidaan käsitellä affinisessa geometriassa (kuten etäisyys, kulma jne.).
Erlangen-seremonian ehdotus on tarkoitettu syventämään geometrista ymmärrystä. Se asettaa kaikki geomentit yhtenäiseen muotoon ja saa ihmiset selventämään klassisen geometrian esineitä; osoittaa, kuinka luodaan abstraktin tilan geometrinen menetelmä, tulevan kehityksen ohjaava rooli, niin kauaskantoinen historiallinen merkitys.