Yleiskatsaus
Olkoon diskreetissä matematiikassa R() mikä tahansa n-arvoinen Γ:n predikaatti ja t1, t2,..., tn ovat minkä tahansa F:n n alkiota. R(t1,t2,...tn) on Γ:n atomikaava. Yleensä atomikaava koostuu useista predikaattisymboleista ja termeistä. Vakiomerkit ovat yksinkertaisimpia termejä, joita käytetään edustamaan toimialueen objekteja tai kokonaisuuksia. Se voi olla todellisia objekteja, käsitteitä tai asioita, joilla on nimi, ja muuttujasymbolit ovat myös kohteita, sen ei tarvitse liittyä mikä entiteetti se on. Loogisissa järjestelmissä hyvin muodostetut kaavat määritellään yleensä rekursiivisesti tunnistamalla kaikki kelvolliset atomikaavat ja antamalla säännöt kaavojen muodostamiseksi kahdesta atomikaavasta. Atomikaavoista tehdyt kaavat ovat yhdistekaavoja.
Esimerkiksi lauselogiikassa on seuraavat kaavan rakentamissäännöt:
Mikä tahansa lausemuuttuja p on hyvin muodostettu atomikaava.
Jos mikä tahansa kaava A annetaan, kiistä se, että ¬A ("ei A") on hyvin muotoiltu kaava.
Kun mitkä tahansa kaksi kaavaa A ja B, konjunktio A∧B ("A ja B") on hyvin muodostettu kaava.
Kun mitkä tahansa kaksi kaavaa A ja B, disjunktio A∨B ("A tai B") on hyvin muotoiltu kaava.
Kun kaksi kaavaa A ja B otetaan huomioon, implikaatio A⇒B ("A tarkoittaa B:tä") on hyvin muotoiltu kaava.
Voimme siis rakentaa mielivaltaisen monimutkaisia yhdistekaavoja, esimerkiksi yksinkertaisista atomikaavoista p, q ja r sekä rakennussäännöistämme ((p∧¬(q⇒r)))∨ ¬p.
Predikaattilogiikka
Johdanto
Voit usein nähdä lauseita, jotka sisältävät muuttujia matemaattisissa väitteissä, tietokoneohjelmissa ja järjestelmäspesifikaatioissa, kuten lauseen "x on suurempi kuin 3", predikaatti on "suurempi kuin 3", predikaatti osoittaa lauseen kohteen ominaisuutta.
Predikaattilogiikka on eräänlainen logiikkamalli, se on tähän mennessä tarkin tapa ilmaista ajattelua ja päättelyä ja se on yleisimmin käytetty tapa ilmaista tietoa. Predikaattilogiikan peruskomponentit ovat predikaattisymbolit, muuttujasymbolit ja vakiosymbolit, jotka on erotettu suluilla, hakasulkeilla, kaarevilla suluilla ja pilkuilla osoittamaan suhdetta toimialueen sisällä. Sitä voidaan kutsua myös ensimmäisen asteen logiikaksi. Predikaattilogiikka jaetaan myös klassiseen predikaattilogiikkaan ja ei-klassiseen predikaattilogiikkaan. Jälkimmäinen sisältää ei-klassisen lauselogiikan alijärjestelmänä. Klassinen ensimmäisen asteen predikaattilogiikka on predikaattilogiikan perusosa. Ensimmäisen täydellisen predikaattilogiikkajärjestelmän perusti G. Frege vuonna 1879. K. Gödel ja muut tutkivat systemaattisesti predikaattilogiikan metalogiikkaongelmia ja osoittautuivat tärkeiksi lauseiksi.
Predikaattilogiikassa sinun tulee kiinnittää huomiota seuraaviin seikkoihin kvantisoijia käytettäessä:
(1) Eri yksittäisillä aloilla lausesymbolisoinnin muoto voi olla erilainen, ja lauseen totuusarvo voi myös olla Muuttuu.
(2) Kun positioiden symbolointia harkitaan, jos yksittäistä aluetta ei selitetä, käytetään yksittäistä kokonaisaluetta.
(3) Kun useita kvantisoijia esiintyy, niiden järjestystä ei voi muuttaa mielellään, muuten lauseen merkitys voi muuttua.
Predikaattikaava on vain symbolijono, merkityksetön, mutta annamme tälle merkkijonolle selityksen, teemme sille totuusarvon, siitä tulee ehdotus. Niin sanottu selitys on saada jokainen kaavan muuttuja vastaamaan yksittäisen alueen elementtejä.
Predikaattilogiikassa lausesymbolisoinnin on määritettävä yksittäinen toimialue, ja sitä pidetään yksittäisenä kokonaisalueena ilman erityisiä ohjeita. Käytä yleensä yleistä kvantoijaa ", käytä ® -merkkiä tunnusomaisen predikaatin jälkeen; käytä olemassaolokvantoria $, käytä Ùa ominaispredikaatin jälkeen;
Aksioomajärjestelmä
Universaalisti pätevä kaava predikaattilogiikalle Tietyssä mielessä ne ovat kaikki loogisia lakeja. Jotta näitä lakeja voitaisiin tutkia systemaattisesti, meidän on tarkasteltava niitä kokonaisuutena ja sisällytettävä ne järjestelmään. Predikaattilaskenta tai ensimmäisen asteen predikaattilaskenta on tällainen järjestelmä. Predikaattilaskenta on formaalinen järjestelmä, joka on perustettu predikaattilogiikan aksiomatisoinnilla ja formalisoinnilla. Lasken lähtökohtana olevien alkusymbolien, aksioomien ja deformaatiosääntöjen eri valintojen mukaan voidaan muodostaa erilaisia predikaattilaskujärjestelmiä. Alkusymbolissa on symboli =, joka tunnetaan ensimmäisen kertaluvun predikaattilaskennana yhtäläisillä sanoilla, yhtäläiset sanat = on predikaattivakio; järjestelmää ilman yhtäläisiä sanoja kutsutaan (ensimmäisen kertaluvun) predikaattilaskuksi. Peruselementit, jotka muodostavat predikaattilogiikan aksioomajärjestelmän ovat: alkusymbolit, muodostussäännöt, aksioomit ja muodonmuutossäännöt jne. Tämä voidaan selittää järjestelmästä F ilman yhtäläisiä sanoja. F:n alkusymbolit sisältävät yksittäiset muuttujat, predikaattimuuttujat, konnektiivit ja kvantisoijat sekä tekniset symbolit. Yksittäisten muuttujasymbolien pienet latinalaiset kirjaimet ovat: x,y,z,x1,y1,z1,x2,...; predikaattimuuttujien symbolit ovat latinalaisia isoja kirjaimia, nimittäin: F,G,H,F1,G1... , H1,...; F2, G2, H2,...; jne. Jätä kuitenkin pois yläindeksi 1, 2,...,n, käytännössä ei tule sekaannusta. Yhteys- ja kvantisointisymbolit ovat: 塡, →, 凬; tekniset symbolit ovat hakasulkuja (,) ja pilkkuja. Muodostussäännöt määräävät, mikä symbolisekvenssi tai symboliyhdistelmä on. Hyvin muotoiltu kaava F:ssä. Hyvin muodostettu kaava on merkityksellinen selityksen jälkeen. F-järjestelmän kuvaamiseen ja käsittelyyn käytetty kieli eli metakielen symbolit ovat: pienet kreikkalaiset kirjaimet α, α1, …, αn, δ edustavat mielivaltaisia yksittäisiä muuttujia ; Fn edustaa mitä tahansa n-arvoista predikaattimuuttujaa; isot latinalaiset kirjaimet X, Y edustavat mitä tahansa symbolisarjaa. Näitä symboleja kutsutaan kieliopillisiksi muuttujiksi. F:n muodostamiseen on neljä sääntöä: ①Jos fn on n-arvoinen predikaattimuuttuja, α1,…,αn ovat yksittäisiä muuttujia, niin fn(α1,…,αn) on yhdistetty kaava;
②Jos X on yhdistetty kaava, niin X on yhdistetty kaava. Jos X, Y ovat hyvin muodostettu kaava, niin (X→Y) on hyvin muodostettu kaava;
③Jos X on hyvin muodostettu kaava ja α on yksittäinen muuttuja, niin (凬α)X on hyvin muotoiltu kaava;
④Ainoat sopivat kaavat yllä oleville ①～③ ovat hyvin muotoiltuja kaavoja. Hyvin muodostetut kaavat lyhennetään kaavoiksi. Käytä kirjaimia A, B ja C edustamaan mielivaltaisia kaavoja. A, B ja C ovat myös kieliopillisia muuttujia ja kuuluvat metakieleen.
Hyvin muotoiltu kaava
Propositiokaava on lauselogiikan keskustelun kohde, ja mikä tahansa määrä yhdistelmälauseita voidaan muodostaa käyttämällä lausemuuttujien konnekiveja, kuten P∧Q, P∧Q∨R, P→Q jne. Kysymys kuuluu, onko niillä kaikilla merkitystä? Lause P,P∧Q,P→Q, jossa on vain yksi konnektiivi, on tietysti merkityksellinen. Kahdesta konnektiivista koostuva lause P∧Q∨R on ainakin epäselvä. Pitäisikö meidän tehdä ensin P∧Q ja sitten tehdä ∨ R:lle vai tehdä ensin Q∨R ja sitten tehdä ∧ P:hen? P∧Q:lla on sama ongelma. . Toimintojen järjestys on helppo ratkaista. Voit käyttää sulkuja, kuten alkeisalgebraa. Sulkuja käytetään usein loogisissa operaatioissa operaatioiden järjestyksen erottamiseen. Tällä tavalla kaikki lauselogiikan symbolit koostuvat lausemuuttujista, lausekkeista ja suluista. Lisäongelmana on luoda yleinen periaate, jotta voidaan generoida kaikki lakiehdotuskaavat ja pystyä tunnistamaan, millaiset symbolijonot ovat laillisia.
Formaalisessa logiikassa todistus on WFF-sekvenssi, jolla on tietyt ominaisuudet, ja sekvenssin lopullinen WFF on todistettava.
Hyvin muodostetun kaavan määritelmä (lyhennetty Wff):
1. Yksinkertainen ehdotus on hyvin muotoiltu kaava.
2. Jos A on hyvin muodostettu kaava, niin A on myös hyvin muodostettu kaava.
3. Jos A ja B ovat hyvin muodostettuja kaavoja, niin (A∧B), (A∨B), (A→B) ja (AB) ovat hyvin muotoiltuja kaavoja.
4. Se on hyvin muotoiltu kaava jos ja vain, jos 1.2.3:sta koostuvaa merkkijonoa käytetään rajoitetun määrän kertoja.
Tämä määritelmä antaa yleisen periaatteen hyvin muodostetun kaavan luomisesta sekä periaatteen sen tunnistamisesta, onko merkkijono hyvin muodostettu kaava.
Tämä on rekursion (induktion) määritelmä. Määritelmässä käytetään määriteltävää käsitettä. Esimerkiksi kohdissa 2 ja 3 näkyy hyvin muotoiltu määritettävä kaava. Toiseksi määritelmä täsmentää lähtötilanteen. Esimerkiksi 1 osoittaa, että tunnettu yksinkertainen lause on hyvin muodostettu kaava.
Ehto 4 selittää, mikä ei ole hyvin muodostettu kaava, mutta 1, 2 ja 3 eivät voi selittää tätä.
Määritelmän mukaan, jos kaavasta arvioidaan, onko se hyvin muodostettu kaava, se on vapautettava ja palautettava yksinkertaiseen lauseeseen ennen kuin sitä voidaan arvioida.
(P∧Q),(P→(P∧Q)),
((((P→Q)∧(Q→R))(P→R)) Ne ovat kaikki hyvin muotoiltuja kaavoja. Ja P∨Q∨,((P→Q)→(∧Q)) ,(P→Q ei ole hyvin muotoiltu kaava, merkityksetön, emme keskustele siitä.
Varsinaisessa käytössä ympyrän pienentämiseksi Hakasulkeiden määrä voi sisältää joitain sopimuksia, kuten tapa määrittää konjunktioiden prioriteetti, joka voidaan järjestää järjestykseen ∨, ∧, → ja useita identtiset konjunktiot ovat etusijalla vasemmalta oikealle. Tällä tavalla Kun kirjoitat hyvin muodostettua kaavaa, voit jättää osan tai kaikki sulkeet pois. Yleensä käytetään menetelmää, jossa osa suluista jätetään pois ja osa suluista säilytetään, jotta valinta helpottaa kaavan lukemista. Esimerkiksi,
(P→( Q∨R)) voidaan kirjoittaa muodossa P→(Q∨R) tai P→Q∨R.
(P→(P→R)) voidaan kirjoittaa muodossa P→(P→R).
Vain yhdistettyjä kaavoja käsitellään lauselaskennassa. Mukavuuden vuoksi yhdistettyjä kaavoja kutsutaan kaavoiksi.