Obsah
V roce 1872 navrhl německý matematik Klein článek o „Comparative Examination on Modern Geometry“ na univerzitě Erranian University. Navrhl, že takzvaná geometrie má studovat studium povahy určitého typu transformace, která zůstává nezměněna. Podle tohoto názoru je „geometrická povaha“ takzvané grafiky povahou změny v transformační skupině. Jinými slovy, kolik různých transformačních skupin má mnoho různých geometrií. Tento pohled na Kleina je později označován jako „Erlanggen“.
Úvod Skupina SAFR
Geometrická transformace
dává množinu M libovolného geometrického objektu a dohodnuté se nazývá prostor. Proces, který mění každý geometrický objekt (nebo prvek) na jiný geometrický objekt, se nazývá geometrická transformace na M, označovaná jako transformace. Geometrický objekt je označen alfou nebo vzorem konfigurovaným mnoha objekty a α mění α na jiný objekt nebo grafiku B pod T, nezapomeňte na T (α) = B, B Obraz α, α se nazývá zdroj obrazu B.
Převezměte další roli transformace S na B, nastavte S (b) = c, pokud obě transformace působí spojitě, α se změní na с, takže proces změny na с je také transformací, Pamatujte na p, tj. p (α) = с. P Součin S a T se označuje jako P = ST. Pořadí transformovaného produktu je obecně neměnné, tj. ST ≠ TS.
Pokud existují tři transformace T, S, R, předchozí akce T, následovaná S a nakonec R a výsledkem je RST, představuje pořadí symbolu zprava doleva. Je stanovena kombinace transformačního produktu: (RS) T = R (ST) = RST.
Pokud se T změní, každý prvek B je obrazem jedinečného prvku α a pak t je transformace jedna ku jedné. V tomto okamžiku má T určenou inverzní transformaci, pamatujte si T-1, součin t-1 zachovává každý prvek, což je konstantní konverze, pamatujte si E, TT-1 = T-1T = E.
Konverzní skupina je souborem omezených nebo neomezených transformací na M a splňuje následující dvě podmínky: 1 Součin dvou libovolných transformací v kolekci G patří do G; 2 Každá z kolaterálů g Transformace musí mít svou inverzní transformaci a tato inverzní transformace patří také do G, která se nazývá konverzní grupa na M.
Pokud je část transformace převzata ze známé transformační skupiny G, celek tvoří transformační skupinu G1 a transformační podskupina G1 je G1.
je definováno definicí: integrace sportovních množin, afinních konverzních množin, reflexních množin atd. v rovině nebo prostoru tvoří transformační grupu, resp. tzv. poctu, afinní grupu, projektilovou grupu a podobně. . Počkejte; pohybová skupina je podskupinou afinní skupiny, sportovní skupina a afinní skupina jsou podskupinou střelecké skupiny.
daný prostor M a transformační grupa G, jestliže existuje transformace v G, grafika α se stává grafikou B a α a B jsou ekvivalentní. Definici z transformační skupiny lze spustit:
1 Pokud je grafika α ekvivalentní s grafikou B, je grafika B také ekvivalentní s grafickým ekvivalentem α. Ve skutečnosti, pokud je grafika α ekvivalentní B, skupina G musí změnit T, takže T (α) = B; to je T-1 (b) = α, nicméně T-1 patří do G, což znamená, že G Došlo ke změně změny B na α, takže B je ekvivalentní α.
2 Jsou-li dvě grafiky α a b ekvivalentní třetímu grafickému ekvivalentu с, α a b jsou navzájem ekvivalentní. Ve skutečnosti, jestliže α je ekvivalentní k с ekvivalenci, skupina g musí změnit T, tak že T (α) = с; pokud je B ekvivalentní с, G se musí změnit S, takže S (b) = с Tedy S-1 (с) = B, tedy S-1T (α) = B, takže vzor α a B je ekvivalent.
Jednorozměrné
Cleinova ekvivalentní povaha grafiky v prostoru M je označována jako geometrická povaha nebo konstantní povaha a geometrickými vlastnostmi jsou jakákoliv transformace ve známé skupině G. Nezměněné množství je kombinováno, což je zjevně všechna ekvivalentní grafika. Všechny invariantní vlastnosti pod skupinou G se nazývají povaha G a geometrie povahy patřící do g je známá jako geometrie z G.
Kleinův nápad
Clein's theory of various geometries as the constant nature of various groups they have learned, making it in the 1980s The various geometries found have shown a more profound connection, and he proposed this group of view in the famous "Erranian Gang". Here, it takes out the idea of geometric classification in accordance with the change group - the idea of the Erlanggen. For example, the nature of the motion is the metrics, and the geometric geometric geometric geometry is called metrics (Ou's geometry); the nature of the affine transformation is the nature of the affine, and the geometric of the affine is called the affine geometry; The nature of the shooting transform is the material of the shooting, and the geometric geometry of the material is called the shooting geometry; Under the sport, the distance, angle, area, parallelism, single ratio, and cross-comparison; under affine transformation, distance, angle, area varies, but (in the same direction line segment) single, parallel Sexuality, a total linear, comparison, remain unchanged; for the shooting group, single ratio, parallelism changes, but co-linear, and the volume is maintained unchanged. This is because the motion group is a subgroup of the affine group, and the affine group is a subgroup of the shooting group.
Malá křižovatka
Podle výše uvedeného musí být neměnné vlastnosti pod určitou změnovou skupinou povahou její podgrupy, není však nutné ji zakládat, tedy grupa Čím větší rozdíl, tím menší geometrie; čím menší skupina, tím více geometrického obsahu. Například v evropské geometrii lze afinní povahu (jednoduchý poměr, rovnoběžnost atd.) diskutovat v afinní geometrii (jako je vzdálenost, úhel atd.).
Návrh Erlangenského ceremoniálu má prohloubit geometrické porozumění. Dává všechny geomenty do jednotné formy, díky čemuž si lidé objasňují objekty klasické geometrie; ukazuje, jak stanovit geometrickou metodu abstraktního prostoru, vedoucí roli v budoucím vývoji, tak dalekosáhlý historický význam.