Přehled
V diskrétní matematice nechť R() je libovolný n-ární predikát Γ a t1, t2,..., tn je libovolných n položek libovolného F, pak R(t1,t2,...tn) je atomový vzorec Γ. Obvykle se atomový vzorec skládá z několika predikátových symbolů a termínů. Konstantní symboly jsou nejjednodušší termíny používané k reprezentaci objektů nebo entit v doméně. Mohou to být skutečné předměty, pojmy nebo věci se jmény a variabilní symboly jsou také Předmět, nemusí se jednat o to, o jakou entitu se jedná. Dobře vytvořené vzorce v logických systémech jsou obvykle definovány rekurzivně identifikací všech platných atomárních vzorců a poskytnutím pravidel pro formulaci vzorců ze dvou atomových vzorců. Vzorce vytvořené z atomových vzorců jsou složené vzorce.
Například ve výrokové logice existují následující pravidla konstrukce vzorců:
Jakákoli výroková proměnná p je dobře vytvořený atomový vzorec.
Vzhledem k jakémukoli vzorci A popřejte, že ¬A ("ne A") je správně vytvořený vzorec.
Vzhledem k libovolným dvěma formulím A a B je spojka A∧B („A a B“) dobře utvořená.
Vzhledem k jakýmkoli dvěma formulím A a B je disjunkce A∨B („A nebo B“) dobře vytvořená formule.
Vzhledem k jakýmkoli dvěma formulím A a B je implikace A⇒B („A implikuje B“) dobře vytvořená formule.
Můžeme tedy sestavit libovolně složité složené vzorce, například z jednoduchých atomových vzorců p, q a r a našich konstrukčních pravidel ((p∧¬(q⇒r)))∨ ¬p).
Predikátová logika
Úvod
Často můžete vidět příkazy obsahující proměnné v matematických tvrzeních, počítačových programech a specifikacích systému, jako je například příkaz "x je větší než 3", predikát je "větší než 3", predikát označuje vlastnost podmětu věty.
Predikátová logika je druh logického modelu, je to dosud nejpřesnější způsob vyjádření myšlení a uvažování a je to nejrozšířenější způsob vyjádření znalostí. Základními součástmi predikátové logiky jsou predikátové symboly, variabilní symboly a konstantní symboly oddělené závorkami, hranatými závorkami, složenými závorkami a čárkami, které označují vztah v rámci domény. Lze to také nazvat logikou prvního řádu. Predikátová logika se také dělí na klasickou predikátovou logiku a neklasickou predikátovou logiku. Ten zahrnuje jako subsystém neklasickou výrokovou logiku. Klasická predikátová logika prvního řádu je základní částí predikátové logiky. První úplný systém predikátové logiky založil G. Frege v roce 1879. K. Gödel a další systematicky studovali metalogické problémy predikátové logiky a prokázali důležité teorémy.
V predikátové logice byste při používání kvantifikátorů měli věnovat pozornost následujícím bodům:
(1) V různých jednotlivých doménách může být forma symbolizace výroku různá a pravdivostní hodnota výroku může být také Will change.
(2) Při zvažování symbolizace výroků, pokud není vysvětlena jednotlivá doména, použije se celková jednotlivá doména.
(3) Když se objeví více kvantifikátorů, jejich pořadí nelze libovolně obrátit, jinak se může změnit význam výroku.
Predikátový vzorec je pouze řetězec symbolů, který nemá smysl, ale tomuto řetězci symbolů dáváme vysvětlení, dáváme mu pravdivostní hodnotu a stává se tvrzením. Takzvané vysvětlení spočívá v tom, aby každá proměnná ve vzorci odpovídala prvkům v jednotlivé doméně.
V predikátové logice musí symbolizace výroku specifikovat individuální doménu a je považována za celkovou individuální doménu bez speciálních instrukcí. Obecně používejte univerzální kvantifikátor ", za charakteristickým predikátem použijte ®; za charakteristickým predikátem použijte kvantifikátor existence $, použijte Ù
Systém axiomů
Všeobecně platný vzorec pro predikátovou logiku V jistém smyslu jsou to všechny logické zákony. Abychom mohli tyto zákony systematicky studovat, musíme je vzít v úvahu jako celek a zahrnout je do systému. Takovým systémem je predikátový počet nebo predikátový počet prvního řádu. Predikátový kalkul je formální systém založený axiomatizací a formalizací predikátové logiky. Podle různých výběrů počátečních symbolů, axiomů a deformačních pravidel, které jsou výchozím bodem kalkulu, lze stanovit různé systémy predikátového kalkulu. V počátečním symbolu je symbol = , Známý jako predikátový počet prvního řádu se stejnými slovy, stejná slova = je predikátová konstanta; systém bez stejných slov se nazývá (prvního řádu) predikátový počet. Základní prvky, které tvoří systém axiomů predikátové logiky, jsou: počáteční symboly, pravidla tvorby, axiomy a pravidla deformace atd. To lze vysvětlit ze systému F bez stejných slov. Počáteční symboly F zahrnují jednotlivé proměnné, predikátové proměnné, spojky a kvantifikátory a technické symboly. Malá písmena latinky jednotlivých variabilních symbolů jsou: x,y,z,x1,y1,z1,x2,...; variabilní symboly predikátů jsou velká latinská písmena, a to: F,G,H,F1,G1,.... V zásadě by se pro každé n≥1 mělo n-árních predikátových proměnných uvádět samostatně, např.: F1, G1 , Hl,...; F2, G2, H2,...; atd. Vynechejte však horní index 1, 2,...,n, k záměně v praxi nedojde. Konektivní a kvantifikační symboly jsou: 塡, →, 凬; technické symboly jsou závorky (,) a čárky. Pravidla tvorby určují, jaká je posloupnost symbolů nebo kombinace symbolů. Dobře utvořený vzorec v F. Dobře utvořený vzorec má smysl po vysvětlení. Jazyk používaný k popisu a diskuzi o F systému, tedy symbolech metajazyka, jsou: malá řecká písmena α, α1, …, αn, δ představují libovolné individuální proměnné; Fn představuje jakoukoli n-ární predikátovou proměnnou; velká latinská písmena X, Y představují libovolnou posloupnost symbolů. Tyto symboly se nazývají gramatické proměnné. Existují čtyři pravidla pro tvorbu F: ①Je-li fn n-ární predikátová proměnná, α1,…,αn jsou jednotlivé proměnné, pak fn(α1,…,αn) je kombinovaná formule;
②Pokud je X kombinovaný vzorec, pak X je kombinovaný vzorec. Jestliže X, Y jsou dobře vytvořený vzorec, pak (X→Y) je dobře vytvořený vzorec;
③Je-li X správně vytvořený vzorec a α je individuální proměnná, pak (凬α)X je správně vytvořený vzorec;
④Jediné vhodné vzorce pro výše uvedené ①～③ jsou správně vytvořené vzorce. Dobře utvořené vzorce se zkracují jako vzorce. Použijte písmena A, B a C k reprezentaci libovolných vzorců. A, B a C jsou také gramatické proměnné a patří do metajazyka.
Dobře utvořená formule
Výroková formule je předmětem diskuse výrokové logiky a pomocí spojovacích výrazů z výrokových proměnných, jako je P∧Q, lze vytvořit libovolný počet složených výroků, P∧Q∨R, P→Q atd. Otázkou je, zda mají všechny význam? Tvrzení P,P∧Q,P→Q pouze s jedním spojovacím výrazem je samozřejmě smysluplné. Tvrzení P∧Q∨R složené ze dvou spojovacích výrazů je přinejmenším nejasné. Měli bychom nejprve udělat P∧Q a pak udělat ∨ k R, nebo udělat nejdříve Q∨R a potom udělat ∧ k P? P∧Q má stejný problém. . Je snadné vyřešit pořadí operací. Můžete použít závorky jako elementární algebru. K rozlišení pořadí operací se v logických operacích často používají závorky. Tímto způsobem jsou všechny symboly výrokové logiky složeny z výrokových proměnných, výrokových spojek a závorek. Dalším problémem je stanovit obecný princip, aby bylo možné generovat všechny zákonné výrokové formule a bylo možné identifikovat, jaké řetězce symbolů jsou legální.
Ve formální logice je důkazem posloupnost WFF se specifickými vlastnostmi a konečný WFF v posloupnosti má být dokázán.
Definice správně vytvořeného vzorce (zkráceně Wff):
1. Jednoduchý návrh je dobře vytvořený vzorec.
2. Je-li A dobře vytvořený vzorec, pak A je také dobře vytvořený vzorec.
3. Jsou-li A a B dobře utvořené formule, pak (A∧B), (A∨B), (A→B) a (AB) jsou správně utvořené formule.
4. Je to správně vytvořený vzorec tehdy a pouze tehdy, když je řetězec symbolů složený z 1.2.3 použit pro omezený počet opakování.
Tato definice poskytuje obecný princip stanovení správně vytvořeného vzorce a také princip identifikace, zda je řetězec symbolů správně vytvořeným vzorcem.
Toto je definice rekurze (indukce). V definici je použit pojem, který má být definován. Například v 2 a 3 se objeví správně vytvořený vzorec, který má být definován. Za druhé, definice specifikuje výchozí situaci. Například 1 znamená, že známý jednoduchý výrok je dobře vytvořený vzorec.
Podmínka 4 vysvětluje, co není správně vytvořený vzorec, ale 1, 2 a 3 to vysvětlit neumí.
Podle definice platí, že pokud je vzorec posuzován, zda se jedná o dobře vytvořený vzorec, musí být uvolněn a vrácen k jednoduchému výroku, než může být posouzen.
(P∧Q),(P→(P∧Q)),
(((P→Q)∧(Q→R))(P→R)) Všechny jsou to dobře vytvořené vzorce. A P∨Q∨,((P→Q)→(∧Q)) ,(P→Q není dobře utvořený vzorec, nemá smysl, nebudeme o něm diskutovat.
Ve skutečném použití, aby se zmenšil kruh Počet závorek může zavádět některé konvence, jako je způsob určení priority spojek, které lze uspořádat v pořadí ∨, ∧, → a více shodné spojky mají přednost zleva doprava. Tímto způsobem můžete při psaní dobře vytvořeného vzorce vynechat část nebo všechny závorky. Obvykle se používá metoda vynechání části závorek a ponechání části závorek, takže volba přinese pohodlí při čtení vzorce. Například,
(P→( Q∨R)) lze zapsat jako P→(Q∨R) nebo P→Q∨R.
(P→(P→R)) lze zapsat jako P→(P→R).
Ve výrokovém počtu jsou diskutovány pouze kombinované vzorce. Pro usnadnění se kombinované vzorce nazývají vzorce.